Olete tõenäoliselt igapäevases elus sadu kordi ühepoolseid esemeid kohanud - nagu näiteks universaalne ringlussevõtu sümbol, mis on trükitud alumiiniumpurgide ja plastpudelite tagakülgedele.
Seda matemaatilist objekti nimetatakse Mobiuse ribaks. See on paelunud keskkonnakaitsjaid, kunstnikke, insenere, matemaatikuid ja paljusid teisi sellest ajast, kui avastas 1858. aastal 26. septembril 1868 150 aastat tagasi surnud saksa matemaatik August Möbius.
Möbius avastas ühepoolse riba 1858. aastal, tegutsedes samal ajal Leipzigi ülikooli astronoomia ja kõrgema mehaanika õppetoolina. (Teine matemaatik nimega Listing kirjeldas seda tegelikult mõni kuu varem, kuid avaldas oma teose alles 1861. aastal.) Möbius näib olevat Möbiuse ribaga kokku puutunud, töötades polühedra geomeetrilise teooria - tippudest, servadest ja tasapinnast koosnevate tahkete figuuride - kallal .
Möbiuse riba saab luua pabeririba võtmise teel, andes sellele paaritu arvu keerdu, seejärel teipides otsad kokku, moodustades silmuse. Kui võtate pliiatsi ja tõmbate joone mööda riba keskosa, näete, et joon kulgeb silmuse mõlemal küljel.
Ühepoolse objekti kontseptsioon inspireeris selliseid kunstnikke nagu Hollandi graafiline disainer MC Escher, kelle puulõige “Möbius Strip II” näitab punaseid sipelgaid, kes roomavad üksteise järel mööda Möbiuse riba.
Möbiuse ribal on rohkem kui üks üllatav omadus. Proovige näiteks võtta käärid ja lõigata riba pooleks mööda äsja joonistatud joont. Võib-olla olete üllatunud, et teid ei jäeta kahe väiksema ühepoolse Möbiuse riba külge, vaid ühe pika kahepoolse silmusega. Kui teil pole paberitükki käes, näitab Escheri puulõige “Möbiuse riba I”, mis juhtub, kui Möbiuse riba lõigatakse piki selle keskjoont.
Kuigi ribal on kindlasti visuaalne välimus, on selle suurim mõju olnud matemaatikas, kus see aitas kannustada kogu topoloogia nimega välja arendamist.
Topoloog uurib objektide omadusi, mis säilivad liikumisel, painutamisel, venitamisel või keerutamisel ilma detaile kokku lõikamata ega liimimata. Näiteks sassis kõrvakuulid on topoloogilises mõttes samad, mis lahti harutatud kõrvatropid, sest ühe vahetamine teise vastu nõuab ainult liigutamist, painutamist ja keeramist. Nende vaheliseks muundamiseks pole vaja lõigata ega liimida.
Veel üks objektide paar, mis topoloogiliselt on samad, on kohvitass ja sõõrik. Kuna mõlemal esemel on vaid üks auk, saab selle ühe venitamise ja painutamisega teise deformeerida.
Kruus morfidest sõõrikuks. (Wikimedia Commons) Objekti aukude arv on omadus, mida saab muuta ainult lõikamise või liimimise teel. See omadus, mida nimetatakse objekti “perekonnaks”, võimaldab meil öelda, et kõrvakuulid ja sõõrikud on topoloogiliselt erinevad, kuna sõõrikul on üks auk, samas kui paaril kõrvatropil pole auke.
Kahjuks näib, et Möbiuse ribal ja kahepoolsel silmusel, nagu tüüpilisel silikooniteadvusega käepaelal, on üks auk, nii et see omadus pole nende eristamiseks piisav - vähemalt topoloogi seisukohast.
Selle asemel nimetatakse omadust, mis eristab Möbiuse riba kahepoolsest silmusest, orienteeritavust. Sarnaselt aukude arvuga saab objekti orientatsiooni muuta ainult lõikamise või liimimise teel.
Kujutage ette, et kirjutate endale märkuse läbipaistvale pinnale ja jalutate sellel pinnal ringi. Pind on orienteeruv, kui jalutuskäigult tagasi tulles saate alati märkust lugeda. Mitteorienteeritaval pinnal võite jalgsi tagasi tulla ainult siis, kui leiate, et kirjutatud sõnad on ilmselt muutunud nende peegelpildiks ja neid saab lugeda ainult paremalt vasakule. Kahepoolsel silmusel loetakse noot alati vasakult paremale, ükskõik kuhu teie teekond viis.
Kuna Möbiuse riba on mitteorienteeritav, kuna kahepoolne silmus on orienteeritav, tähendab see, et Möbiuse riba ja kahepoolne silmus on topoloogiliselt erinevad.
(Loonud David Gunderman) Kui GIF käivitub, on päripäeva loetletud punktid mustad, sinised ja punased. Kolmepunktilisi konfiguratsioone võime Möbiuse riba ümber siiski liigutada nii, et joonis paikneks samas kohas, kuid päripäeva loetletud punktide värvid on nüüd punane, sinine ja must. Millegipärast on konfiguratsioon omaenda peegelpilti sisse viinud, kuid kõik, mida oleme teinud, on selle liigutamine pinnal. See ümberkujundamine on orienteeritaval pinnal nagu kahepoolne silmus võimatu.
Orienteeritavuse kontseptsioonil on oluline tähendus. Võtke enantiomeere. Nendel keemilistel ühenditel on samad keemilised struktuurid, välja arvatud üks oluline erinevus: Need on üksteise peegelpildid. Näiteks keemiline L-metamfetamiin on Vicksi aurude sissehingajate koostisosa. Selle peegelpilt D-metamfetamiin on A-klassi ebaseaduslik uimasti. Kui elaksime orienteerumata maailmas, oleks need kemikaalid eristamatud.
August Möbiuse avastus avas uusi võimalusi loodusmaailma uurimiseks. Topoloogia uurimine annab jätkuvalt hämmastavaid tulemusi. Näiteks eelmisel aastal viis topoloogia teadlased avastanud imelikke uusi mateeria olekuid. Tänavune väljade medal, mis on matemaatika kõrgeim au, omistati matemaatikule Akshay Venkateshile, kes aitas topoloogiat integreerida teiste valdkondadega, näiteks numbriteooriaga.
See artikkel avaldati algselt lehel The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. Colorado ülikooli rakendusmatemaatika üliõpilane ja Indiana ülikooli arstikantselei, vabade kunstide ja heategevuse kantsleri professor Richard Gunderman
