20. märtsil sai Ameerika-Kanada matemaatik Robert Langlands Abeli preemia, millega tähistati eluaegseid saavutusi matemaatikas. Langlandsi uurimistöö näitas, kuidas geomeetriast, algebrast ja analüüsist saadud kontseptsioone saaks ühiselt siduda algarvudega.
Kui Norra kuningas annab mais Langlandsile auhinna üle, peab ta au 2300-aastase ettevõtmise käigus, et mõista algarvu, mis on vaieldamatult suurim ja vanim matemaatika andmekogu. Sellele “Langlandsi programmile” pühendunud matemaatikuna on mind lummatud algarvude ajaloost ja sellest, kuidas viimased edusammud nende saladusi lahti kiskuvad. Miks on nad aastatuhandete jooksul võlunud matemaatikuid?
Primaatide uurimiseks kurnavad matemaatikud täisarvu ühe virtuaalse võrgu kaudu teise, kuni järele jäävad ainult primaadid. Selle sõelumisprotsessi tulemusel saadi 1800ndatel miljonite PRIMide tabelid. See võimaldab tänapäeva arvutitel vähem kui sekundiga leida miljardeid primaare. Kuid sõela põhiidee pole 2000 aasta jooksul muutunud.
"Algarv on see, mida mõõdab ainult ühik, " kirjutas matemaatik Euclid aastal 300 eKr. See tähendab, et algarvu ei saa ühtlaselt jagada väiksema arvuga, välja arvatud 1. Tavapäraselt ei arvesta matemaatikud ühte ennast kui algarv. Euclid tõestas PRIME lõpmatust - nad jätkavad igavesti -, kuid ajalugu viitab sellele, et Eratosthenes andis meile sõela, et PRIME kiiresti loetleda.
Siit ka sõela idee. Kõigepealt filtreerige 2, seejärel 3, siis 5, siis 7 - neli esimest korda esile mitu korda. Kui teete seda kõigi numbritega 2 kuni 100, jäävad alles algarvud.
Kordade 2, 3, 5 ja 7 sõelumine jätab ainult primaadid vahemikus 1 kuni 100 (MH Weissmani nõusolekul) Kaheksa filtrietapi abil saab primaare eraldada kuni 400. 168 filtreerimisetapi korral saab primaale eraldada kuni miljon. See on Eratosthenese sõela jõud.
**********
PRIME tabulatsiooni algkuju on inglise matemaatik John Pell, kes pühendus kasulike numbritabelite loomisele. Teda motiveeris lahendama Diophantose iidseid aritmeetilisi probleeme, aga ka isiklikku püüdlust korraldada matemaatilisi tõdesid. Tänu tema jõupingutustele levitati 1700-ndate aastate alguses laiali kuni 100 000-aastast preemiat. 1800. aastaks olid sõltumatud projektid kokku pannud preemiad kuni miljonini.
Tüütute sõelumisetappide automatiseerimiseks kasutas saksa matemaatik nimega Carl Friedrich Hindenburg reguleeritavaid liugureid, et tembeldada korraga mitu tabeli tervet lehte. Veel üks madala tehnoloogiaga, kuid tõhus lähenemisviis kasutas korrutuste leidmiseks šabloone. 1800. aastate keskpaigaks oli matemaatik Jakob Kulik alustanud ambitsioonika projektiga, mille eesmärk on leida kõik primaadid kuni 100 miljonit.
Trafarett, mida Kulik kasutas 37-kordsete sõelumiseks. AÖAW, Nachlass Kulik (pildi autor Denis Roegel, autor autor) Need 1800. aastate “suured andmed” oleks võinud olla vaid võrdlustabel, kui Carl Friedrich Gauss poleks otsustanud preemiad oma huvides analüüsida. Kuni 3-miljoniliste preemiate nimekirjaga relvastatud Gauss hakkas neid korraga loendama, üks „chiliad” ehk 1000-osaline rühm. Ta luges preemiad kuni 1000, siis preemiad vahemikus 1000 kuni 2000, siis vahemikus 2000 kuni 3000 ja nii edasi.
Gauss avastas, et kõrgema loendamise korral muutuvad primaadid järk-järgult harvemini vastavalt “pöördlogi” seadusele. Gaussi seadus ei näita täpselt, kui palju primaare seal on, kuid see annab päris hea hinnangu. Näiteks ennustab tema seadus 72 preemiat vahemikus 1 000 000 kuni 1 000 000. Õige loendus on 75 alge, umbes 4-protsendiline viga.
Sajand pärast Gaussi esimesi uurimisi tõestati tema seadust “algarvu teoreemil”. Protsendi viga läheneb nullile suuremate ja suuremate primaarvahemike korral. Riemann'i hüpotees, täna miljoni dollari suurune auhinnaprobleem, kirjeldab ka seda, kui täpne Gaussi hinnang tegelikult on.
Tähelepanu ja raha saavad algarvu teoreem ja Riemann'i hüpotees, kuid mõlemad järgisid varasemat, vähem glamuurset andmete analüüsi.
.....
Täna pärinevad meie andmestikud pigem arvutiprogrammidest kui käsitsi lõigatud šabloonidest, kuid matemaatikud leiavad ikka ja jälle PRIMES uusi mustreid.
Kõik algarvud, välja arvatud 2 ja 5, lõppevad numbriga 1, 3, 7 või 9. 1800-ndatel tõestati, et need võimalikud viimased numbrid on võrdselt sagedased. Teisisõnu, kui vaadata prime kuni miljonini, siis umbes 25 protsenti lõpeb 1-ga, 25 protsenti lõpeb 3-ga, 25 protsenti lõpeb 7-ga ja 25 protsenti lõpeb 9-ga.
Mõni aasta tagasi tabasid Stanfordi numbriteoreetikud Lemke Oliver ja Kannan Soundararajan primaaride viimastes numbrites keerdu. Eksperimendis vaadeldi algarvu viimast numbrit, aga ka järgmise numbri viimast numbrit. Näiteks järgmine algväärtus pärast 23 on 29: Üks näeb nende viimastes numbrites 3 ja siis 9. Kas PRIME viimaste numbrite hulgas on 3, siis 9 sagedamini kui 3, siis 7?
Viimase numbri paaride sagedus järjestikuste algarvude hulgas kuni 100 miljonit. Sobivad värvid vastavad sobivatele lünkadele. (MH Weissman, CC BY) Numbriteoreetikud ootasid mõningast varieerumist, kuid see, mis nad leidis, ületas ootused kaugelt. Primesid eraldavad erinevad lüngad; Näiteks 23 on kuue numbri kaugusel 29. Kuid 3-siis-9-primaad, näiteks 23 ja 29, on palju tavalisemad kui 7-siis-3-primaadid, ehkki mõlemad on pärit kuue erinevusega.
Matemaatikud leidsid peagi usutava seletuse. Kuid järjestikuste praimide uurimisel piirduvad matemaatikud (enamasti) andmete analüüsi ja veenmisega. Tõendid - matemaatikute kullastandard selgitamaks, miks asjad on tõesed - näivad aastakümnete kaugusel.
See artikkel avaldati algselt lehel The Conversation.
Martin H. Weissman, Santa Cruzi California ülikooli matemaatika dotsent
